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四川开放大学近世代数作业答案

近世代数

学校: 四川开放大学

平台: 国家开放大学

题目如下：

1. 1. 可换群G中|a|= 6,|x|=8,则|ax|=24。

答案: 正确

2. 2. 在任何一个环中，加法单位元和乘法单位元是相同的。

答案: 错误

3. 3.

答案: 错误

4. 4. 环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。

答案: 正确

5. 5.

答案: 正确

6. 6.

答案: 正确

7. 7. 从同构的观点，每个群只能同构于它自己的商群。

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8. 8. 如果一个集合在某个运算下封闭，则该集合构成了一个群。

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9. 9. 一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换群。

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10. 10. 在任何域中，加法单位元是0。

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11. 11.

A. 满射而非单射

B. 单射而非满射

C. 一一映射

D. 既非单射也非满射

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12. 12. 任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A. 不可能是群

B. 不一定是群

C. 一定是群

D. 是交换群

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13. 13. 什么是群同态？

A. 从一个群到另一个群的双射

B. 保持运算的映射

C. 群之间的非连续映射

D. 使群变得不封闭的映射

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14. 14.

A. 域

B. 整环

C. 环

D. 除环

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15. 15. 假定R是一个整环，则一元多项式环R[x]一定是（　）

A. 欧氏环

B. 除环

C. 域

D. 无法确定

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16. 16. 在域F中，除以非零元素的性质是什么？

A. 除以非零元素的结果也是非零元素

B. 每个非零元素都有一个乘法逆元

C. 非零元素之间不能相除

D. 除以非零元素的结果总是零

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17. 17.

A.

B.

C.

D.

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18. 18.

A. 不是唯一

B. 唯一的

C. 不一定唯一的

D. 相同的(两方程解一样)

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19. 19. 在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？

A. a*b=a-b

B. a*b=max{a,b}

C. a*b=a+2b

D. a*b=|a-b|

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20. 20. 在一个交换群中，所有元素都满足什么性质？

A. 结合律

B. 分配律

C. 交换律

D. 逆元律

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21. 1.

A.

B.

C.

D.

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22. 2. 下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群

A. G为整数集合，*为加法

B. G为偶数集合，*为加法

C. G为有理数集合，*为加法

D. G为有理数集合，*为乘法

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23. 3.

A.

B.

C.

D.

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24. 4. 什么是环的一个子环？

A. 包含环中所有元素的集合

B. 环中任意元素的集合

C. 与环共享相同运算并且自身也是一个环的集合

D. 一个环中元素的子集，它不是一个环

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25. 5.

A. 不适合交换律

B. 不适合结合律

C. 存在单位元

D. 每个元都有逆元

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26. 6.

A.

B.

C.

D.

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27. 7. n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（ ）

A. 倍数

B. 约数

C. 次数

D. 指数

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28. 8.

A.

B.

C.

D.

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29. 9. 在一个域中，加法单位元是什么？

A. 0

B. 1

C. -1

D. 任何非零元素

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30. 10. 当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（ ）

A. 不相等

B. 0

C. 相等

D. 不一定相等

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31. 11.

A. P为零元

B. P为单位

C. P为真因子

D. P仅有平凡因子

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32. 12.

A.

B.

C.

D.

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33. 13. 设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。

A.

B.

C.

D.

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34. 14. 整数集合Z上的加法运算是否构成一个群？

A. 是

B. 否

C. 取决于运算定义

D. 不确定

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35. 15.

A.

B.

C.

D.

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36. 16. 任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A. 不可能是群

B. 不一定是群

C. 一定是群

D. 是交换群

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37. 17. 群的一个必要条件是什么？

A. 运算必须封闭

B. 必须存在至少两个元素

C. 运算必须是可交换的

D. 所有元素必须为正数

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38. 18. 群的阶是指什么？

A. 群中元素的最大数量

B. 群中元素的最小数量

C. 群中元素的总数量

D. 群中元素的平均数量

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39. 19. 在一个环中，乘法运算需要满足什么条件？

A. 结合律

B. 交换律

C. 分配律

D. 以上都是

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40. 20.

A. 欧氏环

B. 除环

C. 域

D. 无法确定

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41. 21.

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42. 22. 如果一个环没有零除子，则它是一个域。

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43. 23. 在任何环中，分配律对于加法和乘法都成立。

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44. 24. 设 (G,∗) 是一个群，如果 G 中的每个元素都是自身的逆元，即对于所有 a∈G，有 a∗a=e，其中 e 是单位元，那么 G 的阶一定是偶数。

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45. 25.

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46. 26. 凯莱定理说：任一个子群都同一个变换群同构。

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47. 27. 偶数环是整数环的子环。

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48. 28. 在一个有限群中，任何元素的幂最终会重复。

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49. 29.

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50. 30. 一个有单位元的无零因子交换环称为整环。

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51. 31. 任何非零整数在整数环Z中都有乘法逆元。

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52. 32. 可换群G中|a|= 6,|x|=8,则|ax|=24。

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53. 33. 一个群的阶等于它的任何元素的阶。

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54. 34.

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55. 35. 6阶有限群的任何子群一定不是4阶。

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56. 36.

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57. 37. 群中的运算必须是可交换的。

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58. 38.

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59. 39. a的阶若是一个有限整数n，那么G与模n乘余类加群同构。

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60. 40.

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61. 1.

A. 6

B. 24

C. 10

D. 12

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62. 2.

A.

B.

C.

D.

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63. 3. 假定R是一个整环，则一元多项式环R[x]一定是（　）

A. 欧氏环

B. 除环

C. 域

D. 无法确定

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64. 4.

A.

B.

C.

D.

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65. 5. 设 (G,∗) 是一个有限群，且∣G∣=15（这里 ∣G∣ 表示群 G 中元素的数目），根据拉格朗日定理，下列哪个数不可能是 G 的子群的阶？

A. 1

B. 3

C. 5

D. 7

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66. 6. 在一个环中，乘法运算需要满足什么条件？

A. 结合律

B. 交换律

C. 分配律

D. 以上都是

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67. 7.

A.

B.

C.

D.

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68. 8. 在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？

A. a*b=a-b

B. a*b=max{a,b}

C. a*b=a+2b

D. a*b=|a-b|

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69. 9.

A. 不适合交换律

B. 不适合结合律

C. 存在单位元

D. 每个元都有逆元

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70. 10. 设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

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71. 11.

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72. 12. 环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。

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73. 13. 在任何域中，加法单位元是0。

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74. 14.

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75. 15. 6阶有限群的任何子群一定不是4阶。

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76. 16. 如果一个环没有零除子，则它是一个域。

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77. 17. 任何非空集合在任何运算下都可以形成一个环。

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78. 18.

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79. 19. 凯莱定理说：任一个子群都同一个变换群同构。

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80. 20.

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